本稿は、新学術領域研究（研究領域提案型）「重い電子系の形成と秩序化」が主催した「重い電子系若手秋の学校’１１」のテキストブックをHTML化したものです。

第３章　歪みと弾性定数，四極子感受率

 

3.3 立方晶系に於けるCe³⁺ , Sm³⁺ (J = 5/2), Pr³⁺ , U⁴⁺(J =4) の四極子感受率

上記の四極子感受率をJ = 5/2とJ = 4の場合について計算した結果を示し，四極子自由度を有する典型的な希土類化合物の弾性定数と比較してみよう．

(1) J = 5/2

f電子軌道が安定で局在している場合（混成や価数揺動等が無く，結晶場基底状態がLS多重項で記述できる場合）を考える．先ず半整数の角運動量Jを持つ系を考える．Ce³⁺やSm³⁺は半整数の角運動量J = 5/2をJ多重項の基底状態に持ち，立方晶系の結晶場ではΓ₇二重項とΓ₈四重項に分裂する．その波動函数と固有値は次の様に書ける．

(23)

ここで|J = 5/2, J_z> = |J_z>とした．Γ₇はクラマース二重項であり，磁場によって分裂するが，歪み場では分裂しない．他方，Γ₈四重項は２つのクラマース２重項が縮退しており，磁気双極子のみならず，電気四極子・磁気八極子も合わせて4 x 4 = 16の自由度を持つ．（表４）

表4 O群の積表

よって，Γ₈基底状態を持つCe, Sm化合物では四極子または八極子が秩序変数となり得るため，極めて興味深い多極子の物理が期待できる．超音波物理の観点からは基底状態がΓ₇かΓ₈であるかに従って，相異なる弾性定数の温度変化を示すことが期待されるため，分光学的に結晶場基底状態を決定できる．例として図5にJ = 5/2におけるΓ₇基底状態の場合とΓ₈基底状態の場合の四極子感受率を示す．それぞれ縦軸と横軸は結晶場分裂幅Δ [K]で規格化してある．ここでxはLea-Leask-Wolfの結晶場ハミルトニアンにおける変数xに対応する[7]．Γ₃対称性の歪みに対応する四極子感受率-χ_Γ3は四極子O₂²の応答であり，横波弾性定数　(C₁₁-C₁₂)/2に対応する．Γ₅対称性歪みに対応する四極子感受率-χ_Γ5は四極子O_yz, O_zx, O_xyの応答であり横波弾性定数C₄₄に対応する．Γ₇基底の場合，低温でヴァン・ヴレック項が支配的となり弾性定数は一定値に収束する．一方，Γ₈基底の場合は低温でキュリー項が支配的となり，1/Tに比例するソフト化が現れる．

Fig. 5 (a) J = 5/2に対する立方晶系点群O_hの結晶場レベルスキーム (W = 1とおいた）.
結晶場A, Bを仮定した場合の;
(b) 四極子感受率-χ_Γ3の温度依存性,
(c) 四極子感受率-χ_Γ5の温度依存性
（縦・横軸共に第一励起状態の結晶場分裂幅Δでスケールした．）

Fig. 6 (a) J = 4に対する立方晶系点群O_h (T_h :破線 )の結晶場レベルスキーム (W = 1とおいた) [16,17].
O_h群における結晶場A-Dを仮定した場合の;
(b) 四極子感受率-χ_Γ3の温度依存性,
(c) 四極子感受率-χ_Γ5の温度依存性
（縦・横軸共に第一励起状態の結晶場分裂幅Δでスケールした．)

(2) J = 4
次に，全角運動量Jが整数の場合を考えよう，J = 4の波動函数と固有値は以下の様に書ける.

(24)

整数の角運動量を持つ希土類化合物も興味深い弾性的性質を示す．立方晶系においてΓ₃二重項の波動函数は，Γ₃対称性の電気四極子O₂⁰,O₂²の行列要素に対角成分を持つため，Γ₃対称性の四極子感受率に低温で1/Tに比例した結晶場によるソフト化が期待される．一方，磁気測定（帯磁率，中性子散乱）からは選択則(磁気双極子モーメントJ_x, J_y, J_zは立方晶系においてΓ_4uに属することを踏まえて表4のO群の積表を参照してみよう.)よりΓ₃二重項の応答が得られないため，超音波測定がΓ₃非クラマース系の研究において欠かせない道具となっている．超音波で観測される弾性定数(C₁₁-C₁₂)/2に対応する四極子感受率-χ_Γ3はΓ₃状態のキュリー項を敏感に検出できる．これまでPrPb₃, PrMg₃, PrPtBi, PrInAg₂, PrIr₂Zn₂₀などがΓ₃基底を持つ化合物として注目されている．そこでは四極子の不整合構造や四極子近藤効果，さらにΓ₃二重項が持つ磁気八極子T_xyzの効果など，様々な物理の議論が展開されている．

図6(b), (c)にJ = 4について様々な基底状態(T_h群の影響はΓ₄とΓ₅にのみ現れる．ここでは竹ヶ原らによる結晶場ハミルトニアン[16]の６次項(O₆²-O₆⁶)に付く変数yとして，PrOs₄Sb₁₂の結晶場解析で用いられた値y = 0.105を用いた.)を仮定した場合の四極子感受率の計算結果を示す．基底状態と第一励起状態の結晶場分裂幅Δで温度軸と縦軸を規格化してある．基底状態がΓ₃の場合-χ_Γ3は低温でキュリー項によるソフト化が現れ，-χ_Γ5は低温で一定値に収束するヴァン・ヴレック項が支配的となるため選択則によるコントラストが現れる．

さて，典型物質の弾性定数と比較してみよう．図７にCeB₆の弾性定数を示す[18]．CeB₆は立方晶で，Ce³⁺イオン（J = 5/2)の結晶場基底状態はΓ₈(0 K)-Γ₇(540 K)であることがわかっている．弾性定数はΓ₈四重項を反映して(C₁₁-C₁₂)/2, C₄₄共に低温でキュリー項による1/Tに比例したソフト化が観測される．超音波実験によって決定されたC₄₄の四極子間相互作用係数はg'_Γ5= -2.2 Kと負の値をとり，O_yz, O_zx, O_xy型の反強四極子秩序を示唆する.

一方，J = 4の系で超音波が最もその威力を発揮するのは先述のΓ₃基底を持つ系であるが，本稿ではあえてPrOs₄Sb₁₂を挙げよう．この物質においてPrイオンのサイトシンメトリーはT h で，Γ₁-Γ₄⁽²⁾が約8 Kで擬縮退した擬四重項基底状態を持つことが解っている．実はこの物質が注目された当初は比熱，磁化の解析から基底状態はΓ₂₃（O_hにおけるΓ₃）二重項であると考えられていた[19]．図８と図９に弾性定数(C₁₁-C₁₂)/2とC₄₄の温度変化と，２つの結晶場モデルによる計算結果をそれぞれ示す．図8の内挿図を見ると，Γ₁基底を基にした四極子感受率の計算結果は3 Kで極小値をとってハード化するため，T_C = 1.85 Kまで弾性定数の減少が続く実験結果を再現できていない．このように零磁場の四極子感受率の解析では一見Γ₂₃基底の方が良く合っているように見える．しかし，それが誤りであることは弾性定数の磁場変化を測定すると明らかになる．図10に弾性定数(C₁₁-C₁₂)/2の磁場変化（H || <110>)と，基底状態のゼーマン分裂を考慮した四極子感受率の磁場変化をそれぞれの結晶場基底モデルについて示す[20,22]．するとそこでも結晶場モデルによって四極子感受率に明らかな差異が認められ，Γ₁基底のモデルが良く合うことがわかる．PrOs₄Sb₁₂は磁場誘起の四極子秩序を示すが，H || <110>において8 T付近で生じる準位交差がその起源となることからもΓ₁-Γ₄⁽²⁾の擬四重項基底状態であることが裏付けられる．それでは，なぜ実験結果は低温領域で四極子感受率に基づく計算から「ずれ」るのだろうか．その理由はPrイオンのオフセンター自由度を考えることによって説明される[21]．（詳細は5.3章で述べる．）

FIg. 7 CeB₆の弾性定数C₁₁, C_B, (C₁₁-C₁₂)/2, C₄₄の温度変化

Fig. 8 PrOs₄Sb₁₂の弾性定数(C₁₁-C₁₂)/2の温度変化
(30 Kの弾性異常はラットリングに伴う超音波分散である．実線はΓ₁基底状態，破線はΓ₂₃基底状態を仮定した場合の四極子感受率による解析）[58]

Fig. 9 PrOs₄Sb₁₂の弾性定数C₄₄の温度変化(実線はΓ₁基底状態，破線はΓ₂₃基底状態を仮定した場合の四極子感受率による解析）[58]

Fig. 10
(a) PrOs₄Sb₁₂の弾性定数(C₁₁-C₁₂)/2の磁場変化　(H || <110>).
(b) 結晶場基底状態にΓ₁-Γ₄⁽²⁾擬四重項を仮定した場合の四極子感受率-χ_Γ23の磁場変化 (-χ_Γ3と同義）.
(c) 結晶場基底状態にΓ₂₃-Γ₄⁽²⁾擬五重項を仮定した場合の四極子感受率-χ_Γ5の磁場変化.（それぞれ内挿図は結晶場レベルスキームの磁場変化）[22]

(第３章3.4節に続く）